الدرس الأول: الكميات القياسية والكميات المتجهة
الثانوي - الصف العاشر
الكميات القياسية والكميات المتجهة
في حياتنا اليومية وفي الفيزياء، نتعامل مع العديد من الكميات الفيزيائية مثل الكتلة، والسرعة، والقوة، والزمن. بعض هذه الكميات يمكن وصفها بشكل كامل بمجرد معرفة مقدارها، بينما تحتاج كميات أخرى إلى تحديد مقدارها واتجاهها معًا لوصفها وصفًا كاملاً.
أولاً: تصنيف الكميات الفيزيائية
الكميات الأساسية (Base Quantities)
هي كميات فيزيائية تُعرّف بذاتها، ولا تُشتق من كميات أخرى. عددها سبع كميات في النظام الدولي (SI).
الكميات المشتقة (Derived Quantities)
هي كميات تُشتق من الكميات الأساسية باستخدام علاقات رياضية (قوانين).
الكميات القياسية (Scalar Quantities)
هي الكميات التي تُحدَّد بـ المقدار فقط، وليس لها اتجاه.
ملاحظة: يمكن أن تكون الكمية القياسية سالبة (مثل درجة الحرارة تحت الصفر)، لكن الإشارة هنا لا تعني اتجاهًا، بل قيمة أقل من الصفر.
ثانياً: الكميات المتجهة (Vector Quantities)
هي الكميات التي تُحدَّد بـ المقدار والاتجاه معًا، ولا يكفي وصفها بالمقدار فقط.
ثالثاً: التمييز بين الكميتين
| الخاصية | الكمية القياسية | الكمية المتجهة |
|---|---|---|
| التعريف | مقدار فقط | مقدار + اتجاه |
| قابلية الجمع | جبري عادي (1+1=2) | متجهي (قد يكون 1+1=0) |
| الإشارة | قيمة عددية | تشير إلى الاتجاه |
| الأمثلة | كتلة، زمن، طاقة | إزاحة، سرعة، قوة |
رابعاً: تمثيل المتجهات بيانياً (Graphical Representation)
لكي نسهل التعامل مع المتجهات، نرسمها كـ أسهم، حيث يتميز السهم بثلاثة عناصر أساسية:
طول السهم
يمثل مقدار المتجه (باستخدام مقياس رسم مناسب).
اتجاه السهم
يمثل اتجاه المتجه في الفضاء.
نقطة البداية
تمثل ذيل المتجه (نقطة التأثير أو الأصل).
مقياس الرسم (Scale)
نختار وحدة طول مناسبة لتمثيل مقدار المتجه.
مثال: إذا كانت السرعة 3 m/s، نختار مقياس (1cm : 1m/s) ونرسم سهماً طوله 3cm.
أمثلة تطبيقية من الكتاب:
متجه سرعة v = 3 m/s باتجاه الشمال.
- مقياس الرسم: 1cm لكل 1m/s.
- طول السهم: 3cm.
- الاتجاه: رأسي للأعلى (زاوية 90°).
قوة F = 60 N باتجاه يصنع زاوية 45° شمال الغرب.
- مقياس الرسم: 1cm لكل 10N.
- طول السهم: 6cm.
- الاتجاه: 45° من الغرب نحو الشمال (135° من +x).
خامساً: خصائص المتجهات
1. تساوي متجهين
يتساوى متجهان إذا كان لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه.
مثال: المتجه A من (0,0) إلى (3,0) والمتجه B من (2,1) إلى (5,1) متساويان لأن كليهما طوله 3 واتجاهه شرقاً.
2. سالب المتجه
متجه له نفس المقدار ولكن في اتجاه معاكس (يرمز له بـ -A).
مثال: إذا كان المتجه A نحو الشرق، فإن المتجه -A يكون نحو الغرب بنفس المقدار.
3. الضرب في كمية قياسية
يغير المقدار، وإذا كان العدد سالباً يعكس الاتجاه.
مثال: إذا كانت السرعة v = 40 m/s شرقاً، فإن 2v = 80 m/s شرقاً، بينما -0.5v = 20 m/s غرباً.
ضرب المتجهات (Multiplication of Vectors)
1. الضرب القياسي (العددي) - Scalar Product
ناتج الضرب القياسي لمتجهين هو كمية قياسية (عدد)، ويعطى بالعلاقة:
خصائص الضرب القياسي:
- الناتج كمية قياسية (ليس لها اتجاه).
- يكون الناتج صفراً إذا كان المتجهان متعامدين (θ = 90°).
- يكون الناتج أقصى ما يمكن إذا كانا متوازيين (θ = 0°).
مثال 7: حساب الشغل
قوة F = 120 N تصنع زاوية 53° مع الإزاحة d = 5 m.
W = F d cos θ
W = 120 × 5 × 0.6 = 360 J
2. الضرب المتجهي (الاتجاهي) - Vector Product
ناتج الضرب المتجهي هو كمية متجهة عمودية على مستواهما، ومقداره:
تحديد الاتجاه:
نستخدم قاعدة كف اليد اليمنى:
تشير الأصابع لـ A، وتُلف نحو B، فيشير الإبهام لاتجاه الناتج.
مثال 8: عزم القوة
موقع r = 0.4 m، قوة F = 250 N، والزاوية 90°.
|τ| = r F sin θ
|τ| = 0.4 × 250 × 1 = 100 N·m
تطبيقات فيزيائية هامة للضرب المتجهي:
يستخدم لوصف الأثر الدوراني للقوة حول محور معين.
τ = r × F
القوة المؤثرة في شحنة تتحرك في مجال مغناطيسي.
F = q (v × B)
أسئلة للتفكير:
س: متى يكون ناتج الضرب المتجهي (A × B) مساوياً للصفر؟
ج: عندما تكون الزاوية بينهما 0° أو 180° (أي المتجهان متوازيان)، لأن sin 0 = 0.
س: هل يمكن أن يتساوى متجهان لهما نفس المقدار ولكن اتجاههما مختلف؟
ج: لا، لتساوي المتجهات يجب أن يتساوى المقدار والاتجاه معاً.
خلاصة الدرس:
- الكمية القياسية: مقدار فقط (كتلة، زمن).
- الكمية المتجهة: مقدار + اتجاه (قوة، سرعة).
- الضرب القياسي (Dot): نتيجته عدد.
- الضرب المتجهي (Cross): نتيجته متجه.