Histudy is a education website template. You can customize all.

عربة التسوق

المجموع: 0,00 د.ا
عرض العربة
اتمام الطلب
الدرس الأول: المجال الكهربائي - محاكاة تفاعلية كاملة

الدرس الأول: المجال الكهربائي

الثانوي - الصف الثاني عشر - المسار الأكاديمي

إعداد المعلم أ. عبدالفتاح مطر
شرح الدرس (صوت)

الدرس الأول: المجال الكهربائي

Electric Field and Gauss's Law

الفكرة الرئيسة: الجسم المشحون يولّد في الحيز المحيط به مجالاً كهربائياً، ويظهر تأثير هذا المجال على شكل قوة تؤثر في أي شحنة أخرى توضع داخله. عند شحن موصل، تستقر الشحنات على سطحه الخارجي، ولحساب المجال الكهربائي الناتج عن توزيعات متصلة من الشحنات نستخدم قانون غاوس.

أولاً: خطوط المجال الكهربائي (Electric Field Lines)

لفهم وتصور المجال الكهربائي، نستخدم مفهوم خطوط المجال الكهربائي. هذه الخطوط الوهمية تُرسم بحيث تدل على اتجاه المجال ومقداره:

1. الاتجاه

اتجاه المجال عند أي نقطة هو اتجاه المماس لخط المجال عند تلك النقطة. المجال يتجه دائماً مبتعداً عن الشحنة الموجبة ومتجهاً نحو السالبة.

2. المقدار (الشدة)

كلما كانت الخطوط متقاربة، كان المجال أقوى. وكلما تباعدت، كان المجال أضعف.

أنواع المجالات من حيث الانتظام:

مجال غير منتظم (Non-uniform):

مثل المجال الناشئ عن شحنة نقطية، حيث يتغير في المقدار والاتجاه من نقطة لأخرى.

مجال منتظم (Uniform):

يمكن الحصول عليه بين صفيحتين متوازيتين مشحونتين، حيث تكون الخطوط مستقيمة ومتوازية ومتباعدة بالتساوي.

محاكاة تفاعلية لخطوط المجال

ثانياً: التدفق الكهربائي (Electric Flux)

التدفق الكهربائي هو مقياس لعدد خطوط المجال الكهربائي التي تخترق سطحاً معيناً. وهو مفهوم أساسي لفهم قانون غاوس.

الصيغة الرياضية (لسطح مستوٍ في مجال منتظم):

Φ = E · A · cos(θ)

E: مقدار المجال.

A: مساحة السطح.

θ: الزاوية مع العمودي.

وحدة القياس: N.m²/C

التدفق عبر سطح مغلق (مقدمة لقانون غاوس):

يُعرف السطح المغلق (مثل الكرة أو المكعب) بأنه سطح يحجز حجماً في الفراغ ويفصل بين الداخل والخارج. يعتمد التدفق الكهربائي الكلي عبر هذا السطح على اتجاه خطوط المجال بالنسبة لمساحته.

الصيغة الرياضية العامة (للتدفق عبر سطح مغلق):

Φnet = ∮ E · dA = ∮ E dA cos(θ)

∮ : رمز التكامل السطحي المغلق.

dA : متّجه وحدة المساحة (العمودي نحو الخارج).

+
تدفق موجب (+)

يحدث عندما تكون خطوط المجال خارجة من السطح. (مثال: شحنة موجبة محصورة بالداخل).

-
تدفق سالب (-)

يحدث عندما تكون خطوط المجال داخلة إلى السطح. (مثال: شحنة سالبة محصورة بالداخل).

0
تدفق صفري (0)

عدد الخطوط الداخلة يساوي عدد الخطوط الخارجة. (مثال: سطح في مجال خارجي دون شحنات داخله).

"التدفق الكهربائي الكلي عبر سطح مغلق موضوع في مجال منتظم يساوي دائماً صفراً، لأن كل خط يدخل من جهة سيخرج حتماً من الجهة المقابلة."
*

مثال تطبيقي (1) : حساب التدفق الكهربائي

مجال كهربائي منتظم شدته E = 4 × 10³ N/C يخترق سطحاً مستوياً مساحته A = 0.05 m². احسب التدفق الكهربائي خلاله في الحالتين:

أ

إذا كان متجه المساحة (العمودي على السطح) موازياً لخطوط المجال.

الزاوية بين اتجاه المجال ومتجه المساحة هي θ = 0°.

Φ = E · A · cos(θ)
cos(0°) = 1
Φ = (4 × 10³) × 0.05 × 1
Φ = 200 N·m²/C
ب

إذا كان متجه المساحة يميل بزاوية 60° عن خطوط المجال.

الزاوية المعطاة هي θ = 60° (التدفق يقل بسبب زاوية الميلان).

Φ = E · A · cos(60°)
cos(60°) = 0.5
Φ = (4 × 10³) × 0.05 × 0.5
Φ = 100 N·m²/C

ثالثاً: قانون غاوس (Gauss's Law)

يُعد قانون غاوس من أهم القوانين الأساسية في الفيزياء (وهو أحد معادلات ماكسويل الأربع)، حيث يربط بطريقة رائعة بين التدفق الكهربائي الكلي عبر أي سطح مغلق (يُسمى سطح غاوس) ومقدار الشحنة الكهربائية الصافية المحصورة داخل مقره.

سطح غاوس (Gaussian Surface): هو سطح هندسي وهمي ومغلق (مثل كرة، أسطوانة، أو أي شكل منتظم) يتم تخيله في الفراغ ليحيط بتوزيع للشحنات بهدف استغلال التماثل وتسهيل حساب المجال الكهربائي.

"التدفق الكهربائي الكلي عبر سطح مغلق يعتمد حصرياً على الشحنة الكلية المحصورة بداخله، ويساوي تلك الشحنة مقسومة على السماحية الكهربائية للوسط".

∮ E · dA = Σqin / ε0

مفاهيم جوهرية في قانون غاوس:

  • المجموع الجبري: الشحنة المحصورة تعني المجموع الجبري (بإشاراتها). إذا كان داخل السطح ثنائي قطب (+q و -q)، فإن الشحنة الكلية = صفر، وبالتالي التدفق الكلي = صفر.
  • الشحنات الخارجية: الشحنات التي تقع خارج سطح غاوس لا تساهم إطلاقاً في التدفق الكلي (لأن خطوط مجالها تدخل من جهة وتخرج من الأخرى).
  • شكل السطح: التدفق لا يعتمد على شكل أو حجم سطح غاوس مادام يحتوي على نفس الشحنة الكلية!

ثابت السماحية للفراغ:

8.85 × 10-12
C² / (N·m²)

الاستخدام الأهم:

هذا القانون أداة استثنائية وبديلة لقانون كولوم لحساب شدة المجال (E) للأجسام ذات التماثل العالي.

*

مثال تطبيقي (2) : حساب الشحنة المحصورة وقانون غاوس

سطح غاوس وهمي مغلق يحصر ثلاث شحنات: q₁ = +5 μC، q₂ = -2 μC، q₃ = +4 μC. وشحنة رابعة q₄ = -8 μC خارج السطح. احسب التدفق الكلي.

  1. نتجاهل الشحنة الرابعة لأنها خارج السطح.
  2. نحسب المجموع الجبري للشحنات المحصورة:
Σqin = q₁ + q₂ + q₃
Σqin = (+5) + (-2) + (+4) = +7 μC
Σqin = 7 × 10⁻⁶ C
Φnet = Σqin / ε0
Φnet = (7 × 10⁻⁶) / (8.85 × 10⁻¹²)
Φnet ≈ 7.9 × 10⁵ N·m²/C

بما أن التدفق موجب (+)، نستنتج أن المحصلة هي خطوط مجال تخرج من السطح المغلق.

رابعاً: تطبيقات قانون غاوس (حساب المجال)

مفهوم أساسي: الكثافة السطحية للشحنة

عندما تتوزع الشحنة الكلية (Q) بانتظام على مساحة سطح موصل أو قشرة (A)، نستخدم مفهوم الكثافة السطحية للتعبير عن مقدار الشحنة في كل وحدة مساحة.

σ = Q / A
الوحدة: C / m²
1

المجال الكهربائي لموصل كروي مشحون (نصف قطره R)

في حالة الاتزان الكهروستاتيكي، تتنافر الشحنات لتستقر جميعها على السطح الخارجي للموصل. نتيجة لذلك، ينعدم المجال داخل الموصل، بينما يتصرف الموصل خارجياً وكأن شحنته تركزت في مركزه.

النقطة داخل الموصل (r < R)
E = 0
∮ E · dA = qin / ε0
qin = 0
E = 0

سطح غاوس بالداخل لا يحصر أي شحنة، لأن كل الشحنة استقرت على القشرة الخارجية.

النقطة خارج الموصل (r >= R)
kQ / r²
E (4πr²) = Q / ε0
k = 1 / (4πε0)
E = kQ / r²

خارج الموصل، يقل المجال عكسياً مع مربع المسافة كما لو كانت شحنة نقطية في المركز.

* ربط مع الكثافة

بما أن مساحة الكرة A = 4πR²، فإن Q = σ(4πR²)، وبالتالي على سطح الموصل مباشرة (r = R):

E = σ / ε0
*

مثال تطبيقي للتدريب

موصل كروي معزول نصف قطره R = 10 cm يحمل شحنة موجبة Q = +4 μC. أوجد:

1

شدة المجال عند نقطة تبعد 5 cm عن المركز.

النقطة داخل الموصل (r < R)، الشحنة المحصورة = صفر.

E = 0 N/C
2

شدة المجال عند نقطة تبعد 20 cm عن المركز.

النقطة خارج الموصل (r > R)، نستخدم قانون كولوم (r = 0.2 m):

E = (k × Q) / r²
E = (9×10⁹ × 4×10⁻⁶) / (0.2)²
E = 9 × 10⁵ N/C
3

الكثافة السطحية للشحنة.

مساحة سطح الكرة A = 4πR² حيث R = 0.1 m:

σ = Q / (4πR²)
A = 4 × 3.14 × (0.1)² ≈ 0.1256 m²
σ = (4×10⁻⁶) / 0.1256
σ = 3.18 × 10⁻⁵ C/m²
2

المجال الكهربائي لقشرة (صفيحة) مستوية لا نهائية

عندما تتوزع الشحنة بانتظام على قشرة واسعة جداً (لا نهائية)، فإن خطوط المجال تخرج عمودية على السطحين في كلا الاتجاهين. لاستنتاج هذا المجال نستخدم سطح غاوس أسطواني يخترق القشرة.

#
الاستنتاج الرياضي (خطوة بخطوة)
1

حساب التدفق الكلي عبر سطح غاوس الأسطواني. خطوط المجال تخترق فقط القاعدتين.

Φnet = EA + EA = 2EA
2

تحديد الشحنة المحصورة داخل الأسطوانة.

qin = σ · A
3

تطبيق قانون غاوس واختصار المساحة (A).

∮ E · dA = qin / ε0
2EA = σA / ε0
المعادلة النهائية
E = σ / (2ε0)

المجال هنا منتظم تماماً، ثابت المقدار والاتجاه ولا يعتمد على المسافة عن الصفيحة!

3

المجال الكهربائي بين صفيحتين متوازيتين مشحونتين ومختلفتين

يُستخدم هذا الترتيب (في المكثفات المستوية) لتوليد مجال كهربائي منتظم جداً ومضبوط. الصفيحتان تمتلكان نفس الكثافة السطحية ولكن بإشارتين مختلفتين (+ و -).

#
التفسير الاستنتاجي (مبدأ التراكب)
x

خارج الصفيحتين (المنطقتين الجانبيتين):

المجالان متعاكسان في الاتجاه ومتساويان في المقدار، فيلغيان بعضهما.

Eout = E(+) - E(-) = 0
+

بين الصفيحتين (المنطقة المركزية):

يتجه المجالان في نفس الاتجاه، فنقوم بجمع المقدارين.

Enet = E(+) + E(-)
Enet = [σ/2ε0] + [σ/2ε0] = σ / ε0
المعادلة النهائية

المجال بين الصفيحتين:

E = σ / ε0
المجال خارجهما:
Eout = 0
# مثال محلول: المكثف المستوي
صفيحتان معدنيتان مساحة كل منهما A = 0.2 m². شحنتاهما Q = 8.85 µC مختلفتان. احسب المجال بينهما وخارجهما.
الخطوة الأولى

حساب الكثافة السطحية:

σ = Q/A = 44.25×10⁻⁶ C/m²
الخطوة الثانية

حساب المجال بين الصفيحتين:

E = σ/ε₀ = 5×10⁶ N/C
خارج الصفيحتين: المجال يلغي بعضه!
Eout = 0

خامساً: حركة جسيم مشحون في مجال كهربائي منتظم

عندما يوضع جسيم مشحون في مجال منتظم، فإنه يتأثر بقوة كهربائية ثابتة تؤدي إلى تسارع ثابت وفق قانون نيوتن الثاني.

القوة الكهربائية:
FE = qE

(الاتجاه مع المجال للموجبة وعكسه للسالبة)

التسارع:
a = qE / m

(بإهمال تأثير الوزن)

# وصف الحركة (معادلات التسارع الثابت):

v_f = v_i + at
Δx = v_i t + ½at²
v_f² = v_i² + 2aΔx

أمثلة محلولة هامة من الكتاب

1 مثال 1 (ص 88): حساب التدفق عبر قرص

قرص (r=0.1 m)، مجال (E=2000 N/C)، الزاوية بين السطح والمجال 30°.

  • A = πr² = 3.14×(0.1)² = 0.0314 m²
  • θ = 90-30 = 60°
  • Φ = 2000×0.0314×cos(60°) = 31.4 N.m²/C

5 مثال 5 (ص 97): اتزان كرة فوق قشرة مشحونة

الاتزان السكوني يقتضي توازن القوة الكهربائية الصاعدة مع وزن الكرة:

FE = Fg
q · E = m · g
حيث E هو مجال القشرة: σ/(2ε₀)

# الخلاصة الشاملة للدرس

المجال والتدفق

  • خطوط المجال تنبع من الموجبة وتنتهي في السالبة.
  • التدفق Φ = E·A·cos(θ) مقياس لعدد الخطوط المخترقة.
  • الزاوية θ بين خط المجال والعمودي على السطح.

قانون غاوس

  • ∮E·dA = Σq_in/ε₀
  • لا يعتمد التدفق على شكل وحجم سطح غاوس.
  • الشحنات خارج السطح لا تساهم في التدفق.

تطبيقات وقوانين

  • المجال داخل الموصل المشحون = صفر.
  • مجال صفيحة لا نهائية: E = σ/2ε₀ (ثابت).
  • مجال بين صفيحتين: E = σ/ε₀ (منتظم).
  • تسارع جسيم: a = qE/m.

# أسرار وخدع امتحانية (مهم جداً!)

!
خدعة المجال والسطح المستوي

إذا كان المجال يوازي السطح، فالزاوية مع العمودي 90° والتدفق = صفر.

!
الجسيم السالب يعاكس التيار

الجسيم الموجب يتحرك مع اتجاه المجال، والسالب ينحرف عكس اتجاه خطوط المجال.

!
التناسب التربيعي العكسي

المجال الناتج عن شحنة نقطية يتناسب عكسياً مع مربع المسافة 1/r². تضاعف المسافة يقلل المجال للربع.

!
عصيان السالب في القانون

عند حساب شدة المجال أو القوة، لا نعوض السالب ونستخدمه فقط لتحديد الاتجاه.

مرحباً، مرحبًا بعودتك!
نسيت كلمة السر؟
ليس لديك حساب؟
سجّل الآن