الدرس الثاني: التداخل والموجات الموقوفة
الثانوي - الصف الحادي عشر - المسار الأكاديمي
الدرس الثاني: التداخل والموجات الموقوفة
الحركة الموجية من الظواهر الأساسية في الطبيعة. عندما تلتقي موجتان أو أكثر في نقطة واحدة، فإنهما تتداخلان لتنتجا موجة محصلة. قد يكون هذا التداخل بناءً (يزيد من سعة الموجة) أو هداماً (يقلل أو يلغي الموجة).
في هذا الدرس، ندرس ظاهرة التداخل والموجات الموقوفة التي تنشأ من تراكب موجتين متساويتين في التردد والسعة تنتقلان باتجاهين متعاكسين، ولها تطبيقات مهمة، خاصة في الآلات الموسيقية.
تمهيد: الحركة الموجية والموجات الميكانيكية
1. مفهوم الحركة الموجية
الحركة الموجية هي اضطراب ينتقل عبر الوسط وينقل معه الطاقة دون أن تنتقل جزيئات الوسط نفسها عبر المسافات. الجزيئات تتذبذب فقط حول مواضع اتزانها.
2. الموجات الميكانيكية
هي الموجات التي تحتاج إلى وسط مادي لانتقالها (مثل الماء، الهواء، أو الحبال الأوتار) ولا يمكنها الانتقال في الفراغ.
3. أنواع الموجات الميكانيكية
تتذبذب فيها جزيئات الوسط بشكل عمودي على اتجاه انتشار الموجة. تتكون من قمم (Crests) وقيعان (Troughs).
أمثلة: موجات سطح الماء، الموجات في الحبال المشدودة.
تتذبذب فيها جزيئات الوسط موازية لاتجاه انتشار الموجة. تتكون من تضاغطات (Compressions) وتخلخلات (Rarefactions).
أمثلة: موجات الصوت في الهواء والموائع.
4. الخصائص الأساسية للموجات
أولاً: مبدأ تراكب الموجات (Superposition Principle)
عند التقاء موجتين (أو أكثر) في نقطة ما، فإن الإزاحة الكلية لجسيمات الوسط عند تلك النقطة تساوي المجموع الجبري لإزاحات الموجات. وبعد مرور الموجات عبر بعضها، تعود كل موجة إلى شكلها الأصلي.
ينتج قمة مضاعفة (تداخل بناء).
ينتج إزاحة صفر (تداخل هدام تام) إذا تساوت السعات.
تلتقيان فتتداخلان ثم تتباعدان كأن شيئاً لم يحدث.
ثانياً: تداخل الموجات (Interference)
محاكاة تراكب وتداخل الموجات
1. شروط التداخل المنتظم
- مترابطة (متناغمة): لها نفس التردد وفرق طور ثابت.
- من نفس النوع: طولية أو مستعرضة معاً.
- في نفس الوسط.
2. أنواع التداخل
تلتقي موجتان في الطور ذاته (فرق 0 أو 2π). السعة تصبح المجموع (الأطوار تتطابق).
تلتقي موجتان مختلفتان في الطور (فرق π). السعة تصبح الفرق، وقد تنعدم كلياً.
سماعتان متصلتان بالمصدر نفسه تفصل بينهما 1m. عند نقاط التداخل البناء (التقاء تضاغط مع تضاغط) يُسمع صوت عالٍ. وعند نقاط التداخل الهدام (التقاء تضاغط مع تخلخل) يُسمع صوت منخفض.
ثالثاً: الموجات الموقوفة (Standing Waves)
محاكاة الموجات الموقوفة في وتر
هي أنماط موجية تبدو ثابتة، وتنشأ من تراكب موجتين (ساقطة ومنعكسة) متساويتين في التردد والسعة وتنتقلان في اتجاهين متعاكسين.
الموجات الموقوفة في وتر مشدود (مثبت من الطرفين)
الطرفان عقدتان لعدم قدرتهما على الاهتزاز. لكي تتشكل موقوفة يجب أن يكون طول الوتر L مساوياً لمضاعفات نصف الطول الموجي.
حيث n = 1, 2, 3.. هو رقم التوافق (Harmonic).
- n = 1 (أساسي): بطن و2 عقدة، λ = 2L، f₁ = v/2L
- n = 2 (التوافق الثاني): بطنان و3 عقد، λ = L، f₂ = 2f₁
- n = 3 (الثالث): 3 بطون و4 عقد، λ = 2L/3، f₃ = 3f₁
أقل تردد (الأساسي) لوتر = 196Hz. الترددات التالية؟
f₂ = 2 × 196 = 392 Hz
f₃ = 3 × 196 = 588 Hz
وتر طوله 75cm، التوافق n=3 بتردد 18Hz.
λ₃ = 2L/3 = 1.5/3 = 0.5 m
v = λ₃f₃ = 0.5 × 18 = 9 m/s
رابعاً: الموجات الموقوفة في الأعمدة الهوائية
محاكاة الموجات الموقوفة في الأعمدة الهوائية
1. أنبوب مفتوح الطرفين (Open-Open)
تكون بطون عند الطرفين المفتوحين. تنطبق عليها نفس علاقات الوتر تماماً:
f_n = n * (v / 2L) = n f₁
مسموح بجميع التوافقات: n = 1, 2, 3..
2. أنبوب مغلق من طرف واحد (Closed-Open)
يتكون عند الطرف المغلق عقدة، والمفتوح بطن. التوافقات تكون فردية فقط (n=1, 3, 5):
f_n = (2n-1) * (v / 4L) = (2n-1) f₁
مثال: الأساسي f₁ = v/4L، ثم f₃ = 3f₁
عمود مغلق طوله 62.5 cm، أقل تردد (الأساسي n=1) هو 136 Hz.
الطول الموجي: λ₁ = 4L = 4 × 0.625 = 2.5 m
سرعة الصوت: v = λ₁f₁ = 2.5 × 136 = 340 m/s
التردد اللاحق (الثالث لأنه مغلق): f₃ = 3f₁ = 3 × 136 = 408 Hz
خامساً: تطبيقات حياتية وعلمية
- الآلات الموسيقية: (الوترية، البوق، المزمار). كل نغمة تعبر عن تردد توافقي تحدده خصائص الأنبوب أو الوتر.
- الرنين في الهندسة: تجنب توافق تصميم المباني والجسور مع ترددات الرياح أو الزلازل، تحاشياً للانهيار.
- الطب: التصوير بالموجات فوق الصوتية يعتمد على تداخل الموجات.
أسئلة للتفكير
الفرق في الترددات (المفتوح والمغلق):
عمود مفتوح يعطي جميع التوافقات الصحيحة. العمود المغلق يعطي التوافقات الفردية فقط مما يولد جرساً صوتياً مختلفاً (Timbre).
أهمية تغيير الطول أثناء العزف:
للحصول على ترددات (نغمات) مختلفة. كلما قل الطول (L) زاد التردد (f) وأصبح الصوت أحدّ.
سادساً: خلاصة الدرس
- تداخل الموجات: يؤدي إلى أنماط بناء وهدام، ويخضع لمبدأ التراكب.
- الموجات الموقوفة: تنشأ من تراكب موجتين متعاكستين، وتتميز بوجود عقد وبطون.
- في الأوتار المثبتة والأعمدة المفتوحة:L = n (λ_n / 2) ⇒ f_n = n (v / 2L)(n = 1, 2, 3, ...)
- في الأعمدة المغلقة من طرف:L = (2n-1) (λ_n / 4) ⇒ f_n = (2n-1) (v / 4L)(n = 1, 3, 5, ...)
- تطبيقات: في الآلات الموسيقية، الهندسة، والطب.