الدرس الثاني: الحركة في بُعدين

الثانوي - الصف العاشر

إعداد المعلم أ. عبدالفتاح مطر

شرح الدرس (صوت)

مقدمة: الحركة في بُعدين

في الدرس السابق، تعلمنا وصف حركة الأجسام على خط مستقيم (بُعد واحد). أما هنا فسنتعرف على حركة الأجسام في مستوى (بُعدين)، مثل حركة المقذوفات (كرة القدم، القذيفة) أو حركة الأقمار الصناعية. في هذا النوع من الحركة، يكون للسرعة مركبتان متعامدتان: أفقية ورأسية، وكل منهما تتصرف بشكل مستقل عن الأخرى. كما سنتعرف على الحركة الدائرية المنتظمة.

أولاً: الإزاحة والسرعة في بُعدين

عندما يتحرك جسم من نقطة إلى أخرى في مستوى، فإن إزاحته تُعطى بمتجه الإزاحة d الذي له مركبتان:

مركبة أفقية

d_x = x₂ - x₁

مركبة رأسية

d_y = y₂ - y₁

والسرعة المتجهة المتوسطة ومركبتاها:

v = d / Δt

v_x = d_x / Δt

v_y = d_y / Δt

ثانياً: حركة المقذوفات (Projectile Motion)

هي حركة جسم يُقذف بزاوية مع الأفق (أو أفقياً) ويتحرك تحت تأثير الجاذبية فقط (مع إهمال مقاومة الهواء). مساره يكون قطعاً مكافئاً.

تحليل السرعة الابتدائية

عند قذف جسم بسرعة ابتدائية v₀ بزاوية θ مع الأفق، تُحلل السرعة إلى مركبتين:

المركبة الأفقية

v₀_x = v₀ cos(θ)

ثابتة طوال الرحلة، لأن a_x = 0

المركبة الرأسية

v₀_y = v₀ sin(θ)

تتغير بتأثير الجاذبية a_y = -g

معادلات الحركة في كل اتجاه

في الاتجاه الأفقي (x) - حركة بسرعة ثابتة:

x = v₀_x t

في الاتجاه الرأسي (y) - حركة بتسارع ثابت (-g):

v_y = v₀_y - gt

y = v₀_y t - ½gt²

v_y² = v₀_y² - 2gΔy

الكميات الرئيسية في حركة المقذوفات

1. أقصى ارتفاع (h)

عند أقصى ارتفاع، v_y = 0

h = (v₀² sin²θ) / 2g

2. زمن التحليق (T)

زمن الصعود والهبوط معاً

T = (2v₀ sinθ) / g

3. المدى الأفقي (R)

أكبر إزاحة أفقية

R = (v₀² sin2θ) / g

مثال 12 (ص 67)

قذف بزاوية

ركل لاعب كرة بسرعة ابتدائية 22.5 m/s بزاوية 53° مع الأفق.

تحليل السرعة:

v₀_x = 22.5 cos(53°) = 13.5 m/s

v₀_y = 22.5 sin(53°) = 18 m/s

أقصى ارتفاع (h):

h = 18² / (2 × 9.8) = 16.5 m

زمن التحليق (T):

T = (2 × 18) / 9.8 = 3.67 s

المدى الأفقي (R):

R = 13.5 × 3.67 = 49.5 m

حالة خاصة

القذف الأفقي (θ = 0)

إذا قُذف جسم أفقياً من ارتفاع h، فإن v₀_x = v₀ و v₀_y = 0.

زمن السقوط

t = √(2h/g)

المدى الأفقي

R = v₀ × t

مثال 13 (ص 70):

قذفت كرة أفقياً من ارتفاع 1.5m بسرعة 2m/s.

زمن السقوط: t = √(2×1.5/9.8) = 0.55 s

المدى الأفقي: R = 2 × 0.55 = 1.1 m

مقدار السرعة النهائية: v = √(2² + (-5.39)²) = 5.75 m/s

ثالثاً: الحركة الدائرية المنتظمة (Uniform Circular Motion)

هي حركة جسم في مسار دائري نصف قطره r بسرعة ثابتة مقداراً (لكن اتجاهها يتغير باستمرار). بما أن الاتجاه يتغير، فهناك تسارع مركزي نحو مركز الدائرة.

السرعة المماسية (القياسية)

v = 2πr / T

حيث T هو الزمن الدوري (زمن دورة كاملة)

التسارع المركزي

a_c = v² / r

اتجاهه دائماً نحو مركز الدائرة

مثال 14 (ص 73)

قمر صناعي

قمر صناعي يدور على ارتفاع 8420km من مركز الأرض (نصف قطر المدار 8.42 × 10⁶ m) بزمن دوري 129min = 7740 s.

السرعة المماسية: v = 2π(8.42×10⁶) / 7740 ≈ 6832 m/s

التسارع المركزي: a_c = (6832)² / (8.42×10⁶) ≈ 5.54 m/s²

مثال إضافي 1: كرة مربوطة بخيط

كرة مربوطة بخيط طوله 0.5 m وتدور دورة كاملة كل 0.8 s. احسب سرعتها وتسارعها المركزي.

v = 2π(0.5) / 0.8 = 3.93 m/s

a_c = (3.93)² / 0.5 = 30.89 m/s²

مثال إضافي 2: سيارة سباق

تتحرك سيارة في مسار دائري نصف قطره 50 m بتسارع مركزي 8 m/s². احسب سرعتها المماسية.

v² = a_c × r = 8 × 50 = 400

v = √400 = 20 m/s

ملخص القوانين

المفهوم	الصيغة	ملاحظات
مركبتا السرعة الابتدائية	v₀x = v₀ cosθ, v₀y = v₀ sinθ	عند القذف بزاوية
أقصى ارتفاع	h = (v₀² sin²θ) / 2g	عند v_y = 0
زمن التحليق	T = (2v₀ sinθ) / g	لنفس المستوى
المدى الأفقي	R = (v₀² sin2θ) / g	أكبر مدى عند θ=45°
القذف الأفقي	t = √(2h/g), R = v₀ t	θ = 0
السرعة المماسية	v = 2πr / T	حركة دائرية
التسارع المركزي	a_c = v² / r	اتجاهه نحو المركز

خلاصة الدرس: الحركة في بُعدين

استقلالية الحركة

الحركة في بُعدين هي تركيب لحركتين مستقلتين على المحورين الأفقي والرأسي، حيث لا تؤثر إحداهما على الأخرى.

حركة المقذوفات

تتحرك المقذوفات بسرعة أفقية ثابتة، بينما تتغير سرعتها الرأسية بانتظام تحت تأثير تسارع الجاذبية الأرضية فقط.

الحركة الدائرية

في الحركة الدائرية المنتظمة، يكون مقدار السرعة ثابتاً، ولكن اتجاهها يتغير باستمرار مما يولد تسارعاً مركزياً نحو المركز.

أسئلة وتدريبات (ص 74)

أهمية تحليل السرعة الابتدائية:

لفصل الحركة إلى مركبتين مستقلتين (أفقية ورأسية) مما يسهل تطبيق معادلات الحركة.

التسارع المركزي:

يغير الاتجاه فقط (لأن السرعة ثابتة مقداراً)، فلا حاجة لتسارع مماسي.

مسألة 5: قُذفت كرة بسرعة 15.8m/s بزاوية 30°

v₀y = 15.8 sin(30) = 7.9 m/s

T = 2(7.9)/9.8 = 1.61 s

h = (7.9)²/(2×9.8) = 3.18 m

مسألة 6: قذف أفقي من ارتفاع 44.1m بسرعة 12m/s

t = √(2×44.1/9.8) = 3 s

R = 12 × 3 = 36 m

مسألة 7: كتلة مربوطة بخيط طول 0.8m، زمن دوري 1.0s

v = 2π(0.8)/1 = 5.03 m/s

a_c = (5.03)²/0.8 = 31.6 m/s²

عربة التسوق