الدرس الثالث: توصيل المقاومات وقاعدتا كيرشوف
الثانوي - الصف الثاني عشر - المسار الأكاديمي
الدرس الثالث: توصيل المقاومات وقاعدتا كيرشوف
Combining Resistors and Kirchhoff’s Rules
الفكرة الرئيسة: يمكن تحليل الدارات الكهربائية البسيطة (عروة واحدة) باستخدام قانون أوم مباشرة. أما الدارات التي تحتوي على تفرعات (عُرى متعددة) فتُحلّل باستخدام قواعد جمع المقاومات (للحصول على مقاومة مكافئة) وإن احتوت على بطاريات ومقاومات متعددة نلجأ إلى قاعدتي كيرشوف لجمع التيارات والفولتيات.
أولاً: توصيل المقاومات (Combining Resistors)
1. التوصيل على التوالي (Series Connection)
- التيار I: هو نفسه في جميع المقاومات.
- فرق الجهد الكلي VT: يساوي مجموع فروق الجهد عبر المقاومات: VT = V1 + V2 + V3.
- المقاومة المكافئة (Req):Req = R1 + R2 + R3 + ...(المقاومة المكافئة أكبر من أكبر مقاومة في المجموعة)
- تطبيق: يستخدم للحصول على مقاومة كبيرة من مقاومات صغيرة، كما في تجزئة الجهد.
- عيب: إذا تلفت إحدى المقاومات (أصبحت دائرة مفتوحة) ينقطع التيار عن الدارة كلها.
دارة تحتوي ثلاث مقاومات R1=3Ω, R2=3Ω, R3=6Ω موصولة على التوالي مع بطارية ε=6V (مقاومتها الداخلية مهملة):
2. التوصيل على التوازي (Parallel Connection)
- فرق الجهد VT: هو نفسه بين طرفي كل مقاومة.
- التيار الكلي IT: يساوي مجموع التيارات الفرعية: IT = I1 + I2 + I3.
- المقاومة المكافئة (Req):1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ...(المقاومة المكافئة أصغر من أصغر مقاومة في المجموعة)
- تطبيق: يستخدم للحصول على مقاومة صغيرة، وتوصيل الأجهزة المنزلية (لأنها تحتاج نفس الجهد وعطل أحدها لا يؤثر على البقية).
نفس المقاومات 3Ω, 3Ω, 6Ω الموصولة على التوازي مع بطارية ε=6V:
3. الدارات المركبة (Mixed Series-Parallel)
يتم تبسيط الدارة خطوة بخطوة: نختار مجموعة توازي ونحسب مقاومتها المكافئة فتصبح الدارة أبسط، ونستمر حتى نحصل على مقاومة مكافئة واحدة.
دارة تحتوي ثلاث مقاومات R1=4Ω, R2=6Ω, R3=4Ω مع بطارية ε=16V. المقاومتان R1 و R3 على التوازي:
تصبح الدارة عبارة عن R2=6Ω مع R13=2Ω موصولتان على التوالي:
ثانياً: قاعدتا كيرشوف (Kirchhoff’s Rules)
تستخدم قاعدتا كيرشوف لتحليل الدارات المعقدة التي لا يمكن تبسيطها إلى مقاومة مكافئة واحدة، خاصة عندما تحتوي على أكثر من بطارية في تفرعات مختلفة.
1. قاعدة كيرشوف الأولى (قاعدة العقدة - Junction Rule)
النص: المجموع الجبري للتيارات عند أي نقطة تفرع (عقدة) يساوي صفراً.
- الأساس الفيزيائي: حفظ الشحنة الكهربائية (الشحنات لا تتراكم في نقطة).
2. قاعدة كيرشوف الثانية (قاعدة العروة - Loop Rule)
النص: المجموع الجبري لتغيرات الجهد عبر أي مسار مغلق (عروة) في الدارة يساوي صفراً.
- الأساس الفيزيائي: حفظ الطاقة (الشحنة لا تفقد طاقة صافية عند إكمال دورة).
قواعد الإشارات (مهمة جداً):
| عبور عنصر | اتجاه العبور | التغير في الجهد ΔV |
|---|---|---|
| مقاومة R | مع اتجاه التيار I | - IR |
| مقاومة R | عكس اتجاه التيار I | + IR |
| بطارية ε | من القطب السالب للسالب (مع ε) | + ε |
| بطارية ε | من القطب الموجب للسالب (عكس ε) | - ε |
تطبيقات على قاعدتي كيرشوف
دارة عروة واحدة فيها ε1=12V, ε2=8V، ومقاومات R1=8Ω, R2=1Ω ومقاومة داخلية لكل بطارية r=0.5Ω.
- نفرض تياراً I مع عقارب الساعة (باتجاه ε الأكبر).
- نطبق قاعدة العروة (بالعبور مع نفس الاتجاه).
التيار موجب، إذن الاتجاه المفروض صحيح.
دارة مركبة بمعلومية بعض التيارات، نطبق قاعدتي كيرشوف لإيجاد التيارات المتبقية ومقاومة داخلية مجهولة r3.
- من العقدة: I1 = I2 + I3
- نحصل على قيم التيارات ومنها نجد أن I2 = -3 A (إذن اتجاهه الحقيقي عكس المفروض).
- بتطبيق قاعدة العروة على حلقة مغلقة يمكننا استنتاج r3 = 1 Ω.
خلاصة الدرس
- توصيل المقاومات: في التوالي، التيار ثابت والمقاومة المكافئة هي مجموع المقاومات (Req = ΣR). في التوازي، الجهد ثابت والمقاومة المكافئة تحسب من مجموع مقلوبات المقاومات (1/Req = Σ(1/R)).
- الدارة البسيطة: هي الدارة التي يمكن تبسيطها إلى عروة واحدة تحتوي على بطارية مكافئة ومقاومة مكافئة. يُحسب تيارها الكلي باستخدام معادلة الدارة البسيطة.
- قاعدتا كيرشوف: لحل الدارات المعقدة (المركبة).
- قاعدة الوصلة (كيرشوف الأولى): المجموع الجبري للتيارات عند أي عقدة يساوي صفراً (قانون حفظ الشحنة).
- قاعدة العروة (كيرشوف الثانية): المجموع الجبري لتغيرات الجهد عبر أي مسار مغلق يساوي صفراً (قانون حفظ الطاقة).
نصائح للدراسة
عند حل مسائل توصيل المقاومات، ابدأ دائماً بتبسيط المقاومات المتصلة على التوالي أو التوازي الواضحة، وأعد رسم الدارة في كل خطوة لتجنب الأخطاء.
في معادلات الدارة البسيطة، لا تنسَ جمع المقاومات الداخلية للبطاريات مع المقاومات الخارجية عند حساب المقاومة المكافئة الكلية (ΣR = Req + Σr).
في قاعدتي كيرشوف، إشارات التغير في الجهد أمر بالغ الأهمية! تدرب جيداً على قاعدة الإشارات: مع التيار عبر مقاومة (هبوط الجهد سالب)، من القطب السالب للموجب في بطارية (ارتفاع الجهد موجب)، والعكس صحيح.
لا تقلق إذا افترضت اتجاه تيار وظهرت نتيجته سالبة بالحل؛ هذا يعني فقط أن الاتجاه الفعلي هو عكس اتجاهك الافتراضي، لكن قيمته العددية صحيحة. استمر في الحل باستخدام القيمة مع إشارتها السالبة في باقي المعادلات إذا لزم الأمر.